חוצי הזוויות במשולש

שרטטו משולש חד זווית.

חצו את זוויותיו בעזרת מחוגה וסרגל.

מה גיליתם?

שלושת חוצי הזוויות במשולש חד זווית נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש.

שרטטו משולש ישר זווית חצו את זוויותיו בעזרת מחוגה וסרגל.

חזרו על אותה הפעולה במשולש קהה זווית.

מה גיליתם?

גם במשולש חד זווית גם במשולש ישר זווית וגם במשולש קהה זווית שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש..

הגדרה:

מעגל שיש לו נקודת מגע אחת עם כל צלע של המשולש ושכל יתר נקודותיו נמצאות בתוך המשולש הוא מעגל חסום, כי המשולש חוסם אותו מכל עבר.

נקודת הפגישה של שלושת חוצי הזוויות היא מרכז המעגל החסום של המשולש.

היעזרו בנקודות המפגש לשרטוט המעגלים החסומים במשולשים ששרטטתם.

תיאורי הבניות של חוצי זוויות

הגבהים במשולש

קישור להורדת אנך

הגדרה:

האנך היורד מקודקוד המשולש אל הצלע שמולו, או אל המשכה , נקרא: גובה.

שרטטו משולש חד זווית   ABC .

הורידו אנך מהקדקוד A  אל הצלע שמולו BC .

כאשר אתם חגים קשת מ A אל BC ייתכן שנקודות החיתוך שלה עם BC תהיינה בהמשך BC . לשם כך כדאי להאריך את BC .

לדוגמא:

הנקודות KL הן נקודות החיתוך של הקשת שחגנו מ A .

מנקודות אלה נחוג שתי קשתות שוות שתחתכנה. נחבר את נקודת החיתוך של הקשתות עם הקודקוד A ונקבל אנך שיורד מ A אל הצלע BC .

גודלו של הגובה נמדד מהקודקוד A עד לנקודת החיתוך של האנך עם הצלע BC ,

כפי שמראה הקו המודגש בשרטוט.

 

איזה חוק גיליתם לגבי הגבהים?

שלושת הגבהים במשולש חד זווית נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש. .

 

שרטטו משולש ישר זווית  ACB .

הורידו אנך מ A אל BC .

מה גיליתם?

האנך מ A אל BC כבר משורטט . הניצב AC הוא האנך הזה.

מסקנה:

AC הוא גם ניצב במשולש ישר הזווית ACB והוא גם גובה.

נסו להוריד אנך מ B  אל AC .

מה גיליתם?

CB הוא גם ניצב  וגם גובה במשולש ACB.

הורידו אנך מ C אל הצלע AB .

מסקנה:

שלושת הגבהים במשולש ישר זווית נפגשים בנקודה אחת שהיא קדקוד הזווית הישרה .

שרטטו משולש קהה זווית ABC .

הורידו גובה מ C אל AB.

השאירו את הקשתות שנעזרת בהן בבניית הגובה, אבל השתדלו לצמצם את היקפן כדי שתוכלו לראות את הגובה.

הדגישו את הגובה, כמו שמודגם בשרטוט.

כדי להוריד את הגובה מהקודקוד A האריכו את הצלע BC .

המנעו מקשתות גדולות מידי, כדי שתוכלו להבחין בגובה, הדגישו את הגובה כמו בשרטוט הבא.

 כדי להימנע מקשתות גדולות מידי חייב הלומד להפעיל בדמיונו אומדן כלשהו כדי שיוכל להעריך את מקום הפגישה של הקשתות.

גם הגובה היורד מ B אל AC יהיה מחוץ למשולש . בנו אותו בעזרת הסרגל והמחוגה.

הימנעו מקווי עזר גדולים מידי.

חזקו את הגבהים כמו בשרטוט הבא.

שלושת הקווים המושחרים הם הגבהים.

 

 

השרטוט כולו, ללא הקשתות ,  ייראה כך:

שלושת הגבהים במשולש קהה זווית נפגשים בנקודה אחת  מחוץ למשולש.

אורך הגבהים נמדד רק מהקודקוד עד לצלע שמולו.

שניים מהגבהים נפגשים עם המשך הצלעות שמולן ולא עם הצלעות עצמן.

למדתם שהגבהים נפגשים במקומות שונים ביחס למשולש.

במשולש חד זווית הם נפגשים בתוך המשולש.

במשולש ישר זווית הם נפגשים בקודקוד של הזווית הישרה  .

במשולש קהה זווית הם נפגשים מחוץ למשולש , אבל אנחנו מחשבים את אורכם לא עד לנקודת המפגש , אלא עד לצלע שלהם או עד להמשכה  .

תיאורי הבניה של הגבהים

המשך